2007年考研数学二参考解析(2007年考研数学二参考解析答案)




2007年考研数学二真题解析,2007年考研数学二真题解析答案

大家好!本文和大家分享一道2007年高考全国1卷理科数学真题。本题是全卷的第20题,也就是倒数第三道解答题。本题综合考查了导数的计算、导数与函数的单调性、指数函数的基本性质、基本不等式等知识,是一道非常经典的题目,现在依然是常考题。

先看第一小问:求证f'(x)≥2。

要证明这个结论,首先要求导。本题需要用到的求导公式有三个,一是指数函数的导数,即(e^x)'=e^x;二是复合函数的导数,即复合函数的导数等于外层函数的导数与内层函数的导数之积;三是(u+v)'=u'+v',其中u、v表示函数。

于是,由f(x)=e^x-e^(-x)就可得f'(x)=e^x+e^(-x)。根据指数函数的性质可知,e^x和e^(-x)都大于零,所以用基本不等式就可以证明出结论了。

再看第二小问:求参数a的取值范围。

下面介绍两种解法。

解法一:

f(x)≥ax等价于f(x)-ax≥0,所以我们构造新函数g(x)=f(x)-ax=e^x-e^(-x)-ax,那么原命题就变为了求a的取值范围,使得g(x)在x≥0时的最小值大于等于零。于是,我们先求导,得g'(x)=e^x+e^(-x)-a。接着利用导数讨论g(x)的最小值。

在讨论的时候,我们通常首先让导数恒为正或者恒为负。由于e^x+e^(-x)≥2,所以当a≤2时,g'(x)≥0,且只有当x=0、a=2时g'(x)=0,所以此时g(x)为增函数,那么g(x)≥g(0)=0,即f(x)≥ax。

接下来再讨论a>2的情况。由g'(x)=0可以解出x的值,又x≥0,所以只需要取其中的正值x1即可。由于当0<x<x1时,g'(x)<0,此时g(x)为减函数,所以有g(x)<g(0)=0,故有f(x)<ax,不合题意。

综上就有a≤2。

解法二:

参变分离是高中阶段求参数取值范围的重要方法,本题我们也可以用参变分离的方法来处理。

本题中,要实现完全的参变分离,就需要在f(x)≥ax的两边同时除以x,所以需要分为x=0和x>0两种情况来讨论。

当x=0时,显然成立,此时a为R。

当x>0时,两边同时除以x,得到a≤[e^x-e^(-x)]/x。于是原命题就变为了a小于等于函数g(x)=[e^x-e^(-x)]/x的最小值,那么接下来就利用导数求出g(x)的最小值。经过多次求导可以发现,g(x)为增函数,所以有g(x)>g(0)。但是x=0时g(x)无意义,所以要求g(0)的值就需要用到洛必达法则。

对于第二小问的两个方法,优先考虑解法一,因为高考中使用洛必达法则在某些地区是要扣分的。

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